• Teoria filtrów

    Teoria filtrów w ujęciu Yoshiego

    Każdy kto chce zbudować zwrotnicę napotyka zawsze na mniejsze lub większe problemy , nieważne czy robi to pierwszy czy n’ty raz. Najczęściej spotykanym problemem początkującego budowniczego zwrotnic jest odkrycie przerażającego faktu niezgodności teorii z praktyką o którym dowiaduje się od innych ,bardziej doświadczonych w tym względzie kolegów. Po przebrnięciu przez kawałek teorii ,wzorów ,nagle dowiaduje się on ,że wszystko co czego się nauczył od strony teorii jest ... nic nie warte . Na szczęście tak nie jest do końca ,teoria jest bardzo przydatnym kawałkiem wiedzy. Bez niej nie da się zrozumieć działania filtru , ba znając teorię dużo szybciej opanuje się praktykę aniżeli zaczynając wprost od strony praktycznej.
    Dobra znajomość teorii zminimalizuje możliwość popełnienia błędu i pozwoli na dopracowanie filtru pod względem sonicznym dużo szybciej aniżeli bezmyślne zmiany wartości elementów i długotrwałe odsłuchy.

    Przeprowadzona analiza jest w sposób jaki podszedłby każdy początkujący projektant zwrotnicy ,czyli od strony teoretycznego obliczenia wartości elementów filtru.

    1. Wiadomości ogólne

    Filtry od strony ogólnej charakteryzują w zasadzie dwa parametry :
    - stromości filtru (tzw. rząd 1 ,2 itd.)
    - charakterystyka filtru (bessel , czybyszew itp.)

    Wszystkie inne parametry wynikają z dwóch powyższych ,dlatego wyjaśnię ich znaczenie.

    Stromość filtru jest parametrem definiującym skuteczność filtracji. Im wyższy rząd filtru tym lepiej on filtruje. W przypadku zwrotnic głośnikowych stromości filtrów jakie się stosuje są w granicach 1..4 rzędu. Wyższych się nie spotyka a i 4 rząd występuje bardzo rzadko. Najpopularniejsze to 2 i 3 rząd. Kompromis pomiędzy dobrą filtracją i kosztami. Filtry 1 rzędu stosowane są rzadko ze względu na konieczność ich współpracy z odpowiednio dobrymi głośnikami ,które maja gładkie ch-ki w szerokim zakresie pasma oraz odpowiednią wytrzymałość na moc (to tyczy się głośników wysokotonowych).

    2. Wybieramy filtr

    Charakterystyki filtrów :
    - Bessla
    - Butterwotrha
    - Linkwitz-Riley
    - Czybyszew

    opisują pasmo przejściowe działania filtru. Najczęściej wykorzystywanymi filtrami są dwa środkowe ,czyli Butterwoth i Linkwitz.
    Każdy z powyższych filtrów tego samego rzędu posiada tą samą stromość w paśmie zaporowym , tę samą wartości fazy przed i po filtracji ale mają różne ch-ki w paśmie przejściowym. Co pokazuje poniższy wykres :


    Wszystkie filtry zostały obliczone na jedna częstotliwość i obciążenie rezystancyjne 8 ohm ,czyli tak jak zrobiłby to każdy mając do dyspozycji jakiś kalkulator do zwrotnic.
    Ja wartości elementów wyznaczyłem za pomocą programu Speaker Workshop. Zostały później podstawione do modelu matematycznego filtru 2 rzędu co umożliwiło wykreślenie takich charakterystyk. Na górnym wykresie widać ch-kę amplitudową , na dolnym fazową. Punkt wyjściowy jak i końcowy działania filtrów jest jednakowy , jednak różnice w paśmie przejściowym widać gołym okiem. Różnice między filtrami zacierają się dopiero na poziomie ok –25 dB czyli całe dwie oktawy dalej aniżeli został obliczony dany filtr. Dla takiej częstotliwości patrząc od strony głośnika nie ma to już znaczenia , o wiele bardziej istotny jest zakres który jest wcześniej. Stąd różnice wynikające z różnych typów filtrów okazują się istotne. Jak widać filtry charakteryzują się również różnymi przebiegami fazy.

    Wydać może się dziwne ,że pomimo obliczenia filtrów na tę samą częstotliwość punkty –3dB dla każdego z nich znajdują się na innej częstotliwości. Jedynie filtr Butterwortha ma –3dB w zakładanym punkcie 3kHz. Różnice te wynikają właśnie z różnic w charakterystykach filtrów. Dla każdego z nich wartości elementów się różnią i dla uzyskania tej samej stromości w paśmie zaporowym (12db/oct) nie sposób uzyskać ten sam punkt –3dB. Sprawdziłem też innym kalkulatorem , wartości podstawiane do symulacji są prawidłowe.

    Jak widać z wykresów już na tym etapie można wyciągnąć sporo wniosków co chcemy uzyskać i jak każdy filtr będzie oddziaływał na głośnik. Należałoby się zdecydować jaki rodzaj filtru należy wybrać ,który jest optymalny. Od strony skuteczności filtracji niezłe wyniki daje filtr Butterwortha (najbardziej popularny) , dosyć ciekawie prezentuje się filtr Czybyszewa , można by trochę przeliczyć go na niższą częstotliwość i byłoby dobrze... Jednak rozumowanie pod kątem tylko i wyłącznie skuteczności filtracji nie jest dobre. Nie tylko ten parametr jest ważny. Wystarczy spojrzeć na przebieg fazowy filtrów. Widać wyraźnie ,że filtr Czybyszewa wyraźnie odstaje od reszty. Faza w tym filtrze zmienia się w sposób niemalże gwałtowny a to pachnie kłopotami. Szybkie zmiany fazy utrudniają uzyskanie zgodności fazowej pomiędzy głośnikami. Każda nawet mała odchyłka od ideału spowoduje duże różnice w fazie głośników a jak każdy się domyśla tego chcemy uniknąć. Pozostałe 3 filtry maja przebiegi fazowe bardzo podobne ,chociaż różnica pomiędzy Linkwitzem a Butterworthem jest już wyraźna. Coś trzeba będzie wybrać , tylko co ?

    Różnice między filtrami wynikają z ich dobroci. Z powyższych filtrów najwyższą dobroć ma filtr Czybyszewa , najniższą Linkwitza. Parametr dobroci ma bezpośredni wpływ na wszystkie parametry filtru :
    - charakterystykę przenoszenia
    - przebieg fazowy
    - odpowiedź impulsową / skokową *
    Wszystkie 3 ww. parametry są ze sobą bezpośrednio związane i nie można zmienić jednego nie zmieniając innych (chyba ,że zmieni się rząd filtru .
    *Odpowiedź skokowa i impulsowa to torżsame parametry o nieco innej reprezentacji, wyjaśnienie w dalszej częsci artykułu.

    Analizując filtry pod tym kątem można posłużyć się wykresami odpowiedzi skokowych i zobaczyć jak dobroć ma bezpośredni wpływ na ten parametr :


    Czym jest odpowiedź skokowa / impulsowa ? Na pewno każdy o niej słyszał przy projektowaniu obudowy o tzw. "impulsie" głośnika w obudowie. Jednak tamta odpowiedź ma trochę inną reprezentację, tam jest tzw. opóźnienie grupowe nieco mylnie wiązane z odpowiedzią impulsową. Natomiast tu prawdziwa odpowiedź impulsowa mówiąca dużo więcej.

    *Odpowiedź impulsowa to odpowiedź układu na pobudzenie impulsem jednostkowym, czyli impulsem Dirac'a o nieskończenie krótkim czasie trwania, nieskończenie dużej amplitudzie i powierzchni równej 1. Jest to matematyczny twór, wygodny w symulacjach, nie dajacy się zastosować w praktyce (nieskończony czas, amplituda)
    O wiele przyjaźniejsza dla nas jest odpowiedź skokowa która jest skokiem z 0 do 1 np. napięcia na głośniku z 0 do 1V. Przebieg odpowiedzi pobudzanego układu na skok jednostkowy jest uzależniony od odpowiedzi impulsowej, ergo badajac odpowiedź skokową badamy odpowiedź impulsową! Odpowiedź skokowa jest o wiele bardziej intuicyjna w zrozumieniu.

    W dalszej częsci będę posługiwać się wyrażeniem odpowiedzi impulsowej pomimo, że badana będzie odpowiedź skokowa. Tak na prawdę badany jest ten sam parametr.

    Idealna odpowiedz skokowa powinna wyglądać tak :


    czyli w nieskończenie krótkim czasie układ osiąga zadany stan z 0 na 1. Teraz widać jak dalecy jesteśmy od ideału. Nic dziwnego w końcu opieramy się na rzeczywistym modelu a nie idealnym matematycznym.
    Odpowiedź impulsową można scharakteryzować w kilku parametrach :
    - czas narastania sygnału (w teorii sygnałów jest to 90% sygnału ustalonego)
    - czas ustalenia , czas od momentu pobudzenia do momentu ustalenia wartości na poziomie jednostkowym
    - przerzut , wartość amplitudy ponad wartość zadaną ,czyli to co jest ponad wartością 1.
    - ilość oscylacji

    Na badanym przykładzie najlepszy czas narastania ma filtr Czybyszewa ,jednak pozostałe parametry nie są satysfakcjonujące. Jest potężny przerzut , długi czas ustalenia i oscylacje. Nie trudno się domyślić ,że ten filtr należy zdyskwalifikować jako filtr do naszej zwrotnicy.
    Pozostałe filtry prezentują się znacznie lepiej.
    Butterwoth jest szybki , ma lekki przerzut szybki czas ustalenia.
    Bessel jest „wolniejszy” , minimalny przerzut , podobny czas ustalenia.
    Linkwitz jest „najwolniejszy” ale nie ma w ogóle przerzutu , ma najszybszy czas ustalenia jednak różnica do dwóch powyższych jest minimalna.

    Z powyższych analiz wynika ,że najlepiej do zwrotnic nadają się filtry Butterwortha , Bessela i Linkwitza , żadne odkrycie prawda ? Analizując pod katem odpowiedzi impulsowej najlepiej prezentują się filtry Bessela i Linkwitza. Pod kątem maksymalnie płaskiego pasma przepustowego i stromości w paśmie zaporowym najlepiej wypada Butterworth. Pod kątem przebiegu fazy Linkwitz.
    Jak widać każdy z filtrów ma swoje zalety jaki i wady. Który wybrać , nie jest to takie proste. Jednak stawiając na dwa parametry fazę i odpowiedź impulsową pod uwagę należałoby wziąć dwa filtry : Bessela i Linkwitza , przy czym ten drugi prezentuje się lepiej.
    Nie będzie wielkim odkryciem jeżeli powiem ,że właśnie te parametry są kluczowymi przy uzyskaniu dobrego brzmienia a nie jakby mogło się wydawać idealnie płaska charakterystyka amplitudowa ,którą prościej jest uzyskać na filtrach u większych stromościach.

    3. Teoretyczny filtr vs rzeczywisty głośnik

    Kalkulatorki do filtrów zwykle nie uwzględniają tego ,że głośnik nie jest rezystancją tylko posiada również indukcyjność a zatem jego impedancja rośnie wraz z częstotliwością. Ma to przełożenie na działanie filtru ,gdyż filtr liczony np. na 8 ohm o wiele słabiej działa z obciążeniem o wyższej impedancji a takim właśnie jest głośnik. Spróbujmy zatem do naszego modelu matematycznego wprowadzić zamiast rezystancji , rezystancję (7 ohm) i indukcyjność (0,5 mH) i zobaczmy co z tego wyszło:


    Opisując ten wynik nasuwa mi się jedno słowo .. tragedia . Zakładany punkt –3dB przesunął się z 3kHz prawie oktawę dalej a ch-ka wygląda gorzej niż źle!! Oczywiście jest to tylko symulacja z jakimś wyimaginowanym głośnikiem ale prawda jest taka ,że podbicie podobne do tego na wykresie wystąpi w rzeczywistym układzie , najwyżej jego położenie będzie inne. W każdym razie będzie one na tyle duże ,że jest nie do przyjęcia. Teraz widać podstawy do twierdzenia ,że liczone wzorami filtry są do bani. Racja ale zawsze można skorygować impedancję głośnika i spowodować, że filtr będzie pracował pod stałą wartością obciążenia.
    Dla kompletu obejrzyjmy jeszcze odpowiedź impulsową:


    Jak widać wszystko się pokomplikowało. Czas ustalenia wzrósł ok 3x . Z rezystancją wynosił on 0,4ms , teraz jest ok 1,2ms. Oczywiście układ mechaniczny głośnika ma na tyle dużą inercję ,że pomimo przebiegu napięcia na jego cewce jak na wykresie , odpowiedź membrany będzie inna. Wartość odpowiedzi membrany przypuszczalnie będzie uśrednieniem sygnału elektrycznego jaki jest podawany do głośnika. Nie mniej parametr odpowiedzi impulsowej oraz to co dociera do głośnika nadal jest ważny , w końcu czyż nie dążymy do ideału ?

    Co z tym zrobić ? Drogi są dwie. Można drogą modyfikacji elementów filtru dojść do optymalnych wartości przy których charakterystyka napięcia na głośniku będzie w miarę do przyjęcia. Można też skorygować wzrost impedancji. Po skorygowaniu impedancji ...


    Powróciliśmy do punktu wyjścia ,czyli filtru z obciążeniem rezystancyjnym. Analogicznie prezentują się podpowiedzi impulsowe:


    Po zatoczeniu mozolnie wielkiego kółka dochodzę do punktu wyjścia , przynajmniej na wykresie . Wniosek jest prosty , korekcja impedancji jest dobra , reszta jest be . Należy pamiętać ,że głośnik jest elementem rzeczywistym a jego własna charakterystyka jest daleka od ideału i filtrem nierzadko trzeba korygować odchyłki głośnika od zakładanej linii prostej , dlatego jaki byśmy nie zaprojektowali filtr teoretyczny to nie sprawdzi się on w 100% gdyż ,nie uwzględnia on rzeczywistego sposobu w jaki głośnik przetwarza zadany mu sygnał ! Jednak znajomość zjawisk zachodzących w filtrach przynajmniej od strony teoretycznej daje możliwość lepszego zaprojektowania filtru rzeczywistego.

    Ps.
    Przy okazji zrobiłem sobie fajne narzędzie umożliwiające analizę filtrów pod katem odpowiedzi impulsowej .

    Yoshi (2004)